本课程为北京大学王鸣教授主讲的数学的精神方法与应用精品课程教学视频，全套课程共25集，由外唐网整理免费共享。

什么是数学精神，有人说数学精神在于她对世界的美妙刻划，有人说就是理性精神，就是“盲人摸大象”，还有人说其实就是实践。很显然，数学精神并非这样简单。数学到底是用来干什么的？

对于一个数学家来说，重要的不是他的研究对象的具体化，而是它们的性质，就连最基本的研究对象：数本身，也只是某种性质的形象化说法而已。这种思维就是抽象思维，通过不断深刻地从小模式中抽象出必要的性质，去除（或者综合）次要的性质，用尽可能少的条件来推出尽可能多的结论。爱因斯坦曾经说过一句话，大意是科学的发展就是不断地战胜二十岁以前人所有的“常识”。用在数学上，也十分贴切。因为抽象常常就意味着对某种公认的常识的挑战。在每一次的抽象过程中哪怕对于当时最优秀的数学家来说都是一种冒险的尝试，连象高斯这样的大家，在生前都不愿意发表他关于非欧几何的开创性的文章。一旦某个抽象过程被确认下来，数学也就随之更加完美。因而在这里，作为纯粹思维范畴的抽象性也是一种美学标准，而这个标准，从某种程度上讲是所有在数学中起作用的美学法则中最重要的一个，作为艺术的数学，也正是一种抽象的艺术。对了谈到抽象，我又想起了现代的抽象画和实验性的文学创作。拿数学和它们对比十分有意思，画家进行色彩和形态的组合，文学家把一个个的字写在一块，而我们则把一定的类型通过逻辑串起来。绘画艺术和文学艺术最初是对客观现实的模拟，古典数学也是；然而通过长期的模拟过程，人们发现了一种超越实在的“语言”，通过这种语言可以直接达到美。毕竟，艺术家们创造的全部艺术都必须通过人的审美来体现，从这个意义上讲他们创造的真正内容不是油画，诗歌，而是人的沉思，感动和激情。只有这样看，我们才能够理解非常不相似的文学和绘画，音乐竟然可以拥有相似的性质，从而是统一的艺术的不同分支。而巴罗克，洛可可，古典主义，浪漫主义，印象派，……在几乎每一个分支里都有代表就一点都不奇怪了。

形式是为内容服务的，而不是反过来，所以经过抽象后色彩和文字的“感性”就远比它所附着的形式----绘画的主题和小说的情节更为重要。在数学上，这一步走得更加极端----一旦某个性质被提出来，它的构造就完全可以被忘记。拿向量的“长度”这个概念来说，它无疑具有实在的结构和意义。但是一旦我们意识到它满足三到四个代数性质，并且我们在很多用到“长度”的定理证明中也只要这些性质时，它的“实在性”就完全被抛开，并推广到广泛得多的一大类空间中去，在那里，一个“向量”往往是一个函数。王浩说，数学是一种类“纯净美”，意思大概就是指它可以不附加任何不必要的（为现实服务的）修饰。

这一境界对于任何一门艺术都非常不容易达到，而数学在这方面令人骄傲地走在了所有其它艺术形式的前面。